Jen málo geometrických tvarů je tak rozmanitých jako mnohoúhelníky. Zahrnují známý trojúhelník, čtverec a pětiúhelník, ale to je jen začátek. V geometrii je mnohoúhelník jakýkoli dvourozměrný tvar, který splňuje následující podmínky:
- Skládá se ze tří nebo více přímek
- Je uzavřený bez otvorů nebo zlomů ve tvaru
- Má dvojice čar, které se spojují v rozích nebo vrcholech, kde vytvářejí úhly
- Má stejný počet stran a vnitřních úhlů
Dvourozměrné znamená ploché jako kus papíru. Kostky nejsou mnohoúhelníky, protože jsou trojrozměrné. Kruhy nejsou mnohoúhelníky, protože neobsahují přímé čáry. Zvláštní druh mnohoúhelníku může mít úhly, které nejsou všechny stejné. V tomto případě se tomu říká nepravidelný polygon.
O polygonech
- Poly, což znamená mnoho
- Gon, což znamená úhel
Tvary, které jsou mnohoúhelníky
- Trigon (trojúhelník): 3 strany
- Tetragon (čtverec): 4 strany
- Pentagony: 5 stran
- Šestihran: 6 stran
- Sedmiúhelník: 7 stran
- Osmiúhelníky: 8 stran
- Nonagon: 9 stran
- Decagon: 10 stran
- Undecagon: 11 stran
- Dodecagony: 12 stran
Jak se polygony jmenují
- Penta (Řek znamená pět) + gon = Pentagon
- Hexa (Řek znamená šest) + gon = šestiúhelník
Z tohoto schématu pojmenování existují výjimky. Nejvíce pozoruhodně u slov běžněji používaných pro některé polygony:
- Trojúhelník: Používá řeckou předponu Tri, ale místo řeckého gon, latina úhel se používá. Trigon je správný geometrický název, ale používá se jen zřídka.
- Čtyřúhelník: Odvozeno z latinské předpony quadri, což znamená čtyři, připojené ke slovu postranní, což je další význam latinského slova boční.
- Náměstí: Někdy je čtyřstranný polygon (čtverec) označován jako a čtyřúhelník nebo čtyřúhelník.
N-Gons
S polygony s více než 10 stranami se setkáváme zřídka, ale dodržujeme stejnou řeckou konvenci pojmenování. Stohranný polygon je tedy označován jako a hektogon. V matematice jsou však pětiúhelníky někdy vhodněji označovány jako n-gons:
- 11-gon: Hendecagon
- 12-gon: Dodecagon
- 20-gon: Icosagon
- 50 gon: Pentecontagon
- 1000 gon: Chiliagon
- 1000000 gon: Megagon
V matematice se n-gony a jejich řecky pojmenované protějšky používají zaměnitelně.
Mnohoúhelníkový limit
Počet stran, které polygon může mít, teoreticky není omezen. Jak se velikost vnitřních úhlů polygonu zvětšuje a délka jeho stran se zkracuje, polygon se přibližuje ke kruhu, ale nikdy se tam úplně nedostane.
Klasifikace polygonů
Pravidelné vs. nepravidelné mnohoúhelníky
Polygony jsou klasifikovány podle toho, zda jsou všechny úhly nebo strany stejné nebo ne.
- Pravidelný polygon: Všechny úhly mají stejnou velikost a všechny strany mají stejnou délku.
- Nepravidelný polygon: Nemá stejně velké úhly ani stejně dlouhé strany.
Konvexní vs. konkávní polygony
Druhým způsobem klasifikace polygonů je velikost jejich vnitřních úhlů.
- Konvexní mnohoúhelníky: Nemají žádné vnitřní úhly větší než 180 °.
- Konkávní polygony: Mějte alespoň jeden vnitřní úhel větší než 180 °.
Jednoduché vs. složité polygony
Dalším způsobem klasifikace polygonů je způsob, jakým se čáry tvořící mnohoúhelník protínají.
- Jednoduché mnohoúhelníky: Čáry se spojují nebo protínají pouze jednou – ve vrcholech.
- Složité polygony: Řádky se protnou více než jednou.
Názvy složitých polygonů se někdy liší od názvů jednoduchých polygonů se stejným počtem stran. Například:
- Pravidelný tvar šestiúhelník je šestistranný, jednoduchý mnohoúhelník.
- Ve tvaru hvězdy hexagram je šestistranný komplexní polygon vytvořený překrýváním dvou rovnostranných trojúhelníků.
Součet pravidla vnitřních úhlů
- Od trojúhelníku k čtyřúhelníku (tři až čtyři strany)
- Od pětiúhelníku k šestiúhelníku (pět až šest stran)
k celkovým vnitřním úhlům se přičte dalších 180 °. Toto pravidlo lze zapsat jako vzorec:
(n – 2) × 180 °
kde n se rovná počtu stran polygonu. Součet vnitřních úhlů pro šestiúhelník lze tedy zjistit pomocí vzorce:
(6 – 2) × 180 ° = 720 °
Kolik trojúhelníků v tom mnohoúhelníku?
Výše uvedený vzorec vnitřního úhlu je odvozen rozdělením mnohoúhelníku na trojúhelníky a toto číslo lze zjistit výpočtem:
n – 2
V tomto vzorci se n rovná počtu stran polygonu. Šestiúhelník (šest stran) lze rozdělit na čtyři trojúhelníky (6 – 2) a dodecagon na 10 trojúhelníků (12 – 2).
Velikost úhlu pro běžné polygony
U pravidelných polygonů, ve kterých mají všechny úhly stejnou velikost a strany stejnou délku, lze velikost každého úhlu v polygonu vypočítat vydělením celkové velikosti úhlů (ve stupních) celkovým počtem stran. Pro pravidelný šestistranný šestiúhelník je každý úhel:
720 ° ÷ 6 = 120 °
Některé dobře známé polygony
Krovy
Krovy jsou často trojúhelníkové. V závislosti na šířce a sklonu střechy může krov zahrnovat rovnostranné nebo rovnoramenné trojúhelníky. Díky své velké síle se trojúhelníky používají při stavbě mostů a rámů kol. Jsou prominentní v Eiffelově věži.
Pentagon
Pentagon – ředitelství amerického ministerstva obrany – odvozuje svůj název od své podoby. Budova je pětiboký, pravidelný pětiúhelník.
Domácí talíř
Dalším známým pětistranným pravidelným pětiúhelníkem je domácí talíř na baseballovém diamantu.
Falešný Pentagon
Obří nákupní centrum poblíž čínské Šanghaje je postaveno ve tvaru pravidelného pětiúhelníku a někdy se mu také říká Falešný Pentagon.
Sněhové vločky
Každá sněhová vločka začíná jako šestiúhelník, ale teplota a vlhkost přidávají větve a úponky, takže každá nakonec vypadá jinak.
Včely a vosy
Mezi přírodní šestiúhelníky patří také úly, kde každá buňka včelí plástve, kterou včely konstruují, aby držela med, je šestiúhelníková. Hnízda papírových vos obsahují také šestihranné buňky, kde vychovávají svá mláďata.
Obří hráz
Šestiúhelníky se také nacházejí v Obří dráze na severovýchodě Irska. Jedná se o přírodní skalní útvar složený z asi 40 000 do sebe zapadajících čedičových sloupů, které byly vytvořeny, když se láva ze starověké sopečné erupce pomalu ochlazovala.
Oktagon
Octagon – jméno dané prstenu nebo kleci používané v zápasech Ultimate Fighting Championship (UFC) – odvozuje svůj název od svého tvaru. Jedná se o osmiboký pravidelný osmiúhelník.
Zastavovací značky
Značka zastavení-jedna z nejznámějších dopravních značek-je další osmistranný pravidelný osmiúhelník. Ačkoli se barva, znění nebo symboly na značce mohou lišit, osmiúhelníkový tvar značky stop se používá v mnoha zemích po celém světě.